Page In Romanian

S-a implinit un an de la publicarea articolului ([3]) continind rezolvarea Conjecturii lui Alcantara-Bode ([2]) si, implicit a Conjecturii lui Riemann(RH) datind din 1859.

Conjectura lui Alcantara-Bode propune o alta formulare echivalenta a RH, constind in determinarea injectivitatii unui specific operator integral: RH are loc daca si numai daca operatorul integral definit pe spatiul Hilbert separabil avind functia nucleu (kernel function) definita prin partea fractionara a ratiei y/x, este injectiv.

*

Conjectura lui Riemann, echivalentele, solutia.

Dintre conjecturile echivalente Conjecturii lui Riemann, in 1993 existau doua conjecturi, cele ale lui Beurling si Alcantara-Bode, care au redus RH la o problema concreta de matematici aplicate, scotind-o din sfera matematicii pure (al teoriei numerelor). Adevarul sau falsitatea celor trei conjecturi depind de un singur element: injectivitatea operatorului integral definit in (2).

*

In 2010 cind am dat intimplator de articolul lui Alcantara-Bode ([2]) am fost contrariat de ce autorul nu a continuat cu investigarea injectivitatii operatorului integral, care ar fi dat un raspuns definitiv dupa 150 de ani conjecturii lui Riemann. In fapt, in lipsa unor instrumente pur teoretice, problema injectivitatii operatorului poate fi rezolvata ca o problema de sine statatoare folosind metode in sfera matematicilor aplicate.

Izolarea problemei. Sa ne axam pe problema injectivitatii unui operator liniar definit pe un spatiu Hilbert separabil – aceasta este problema de investigat, facind abstractie de conjectura lui Riemann si evitind astfel sa raminem pe un teren ‘tabu’. Beurling a adus RH la o formulare echivalenta utilizind analiza functionala iar Alcantara-Bode a adus RH la o alta formulare echivalenta utilizind teoria operatorilor. Am decis sa abordez problema prin tehnici de aproximare pe spatii Hilbert separabile folosind o discretizare de tip multi-level in care subspatiile obtinute se includ si a caror reuniune este densa – am folosit astfel de tehnici cu ani in urma in abordarea unor probleme teoretice (a se vedea preprinturile mele de la IMAR).

Criteriul. Cum putem determina daca un operator liniar definit pe un spatiu Hilbert separabil este injectiv? De indata ce avem un criteriu ce poate fi aplicat oricarui operator liniar, il vom aplica operatorului folosit in echivalentele cu RH. Daca operatorul integral in discutie verifica criteriul, atunci RH este rezolvata, in mod implicit.

*

Solutia. Astfel, primul pas a fost construirea criteriului teoretic, pe un spatiu Hilbert separabil abstract. Al doilea pas a fost alegerea subspatiilor de aproximare care sa permita (numeric) manevrarea proiectiilor pe aceste subspatii. Metodele multi-level (multigrid) de discretizare folosind divizarea domeniului de integrare erau propice pentru astfel de probleme. Odata definite subspatiile de aproximare pe aceste nivele, este necesara determinarea legaturii dintre proiectiile operatorului pe aceste subspatii si proiectiile elementelor din spatiul Hilbert, care sunt eligibile pentru a fi zerouri ale operatorului. Cind subspatiile de aproximare au uniunea densa iar operatorul este strict positiv definit pe aceste subspatii, ramin eligibile doar elementele din spatiul Hilbert ce nu se gasesc in uniunea subspatiilor. Daca operatorul nu este strict positiv pe subspatiile familiei dense si nici operatorul Hermitian asociat nu este, atunci operatorul are un zero in familia densa si deci nu este injectiv. Urmatorul pas consta in determinarea relatiei intre proiectiile elementelor eligibile si proiectiile operatorului pe aceste subspatii (Lemma 1). Aceasta relatie, vezi inegalitatea (3), a fost folosita in definirea criteriului de injectivitate (Injectivity Criteria).

Dupa impartirea domeniului de integrare in n intervale de aceeasi dimensiune h, in cazul nostru nh = 1, functiile indicator de interval vor fi folosite pentru generarea subspatiului n-dimensional.Prin injumatatirea pasului de discretizare noul subspatiu il va include pe cel vechi si, uniunea acestor subspatii obtinute prin acest procedeu, este densa in spatiul Hilbert separabil (un rezultat cunoscut in literatura). Testind cu acest criteriu operatorul integral din echivalenta cu RH a lui Alcantara-Bode, obtinem numeric ca acesta este injectiv. Implicit, din echivalenta lui Alcantara-Bode rezulta ca RH este adevarata.

*

Trebuie remarcat faptul ca, de la teorema de echivalenta a lui Beurling din 1955 pina la teorema de echivalenta a lui Alcantara-Bode din 1993 nu a aparut niciun progres notabil in aceasta directie. In urmatorii ani, Alcantara-Bode a incercat sa dea o solutie propriei formulari, fara succes.

Criteriul de injectivitate propus ([3], [4], Par. 2) este generic. Nu toti operatorii liniari strict pozitivi pe o familie densa de subspatii pot fi tratati deocamdata cu aceasta metoda: contraexemplul dat in articolul din JPAM cit si in unele versiuni ale preprinturilor din Research Square arata acest lucru. Incercarile de a gasi o solutie alternativa marginirii parametrilor de injectivitate, simplificarea demonstratiilor si a expunerii cit si corectarea unor erori gramaticale sau de exprimare, au fost motivele publicarii seriei de preprinturi pina la limita acceptata de editura.

Ar mai fi citeva observatii de facut: formula discreta a nucleului operatorului pe spatiile de discretizare este rezultatul alegerii functiilor ce genereaza subspatiile, pe fiecare din subspatii aceste functii avind suporturi compacte disjuncte, ca rezultat matricea reprezentarii operatorului fiind diagonala – doar elementele de pe diagonala fiind nenule. Daca aceste functii ce genereaza subspatiile de aproximare ar fi fost alese ca si in cazul elementelor finite, caz in care in fiecare nod functia asociata are in comun cu functiile asociate nodurilor vecine cite o portiune din suportul compact, atunci matricea reprezentarii operatorului va fi in principiu 3-diagonala cind domeniul de integrare este pe axa reala, sau 5-diagonala cind domeniul se afla in plan. Subspatiile ar putea fi incluse unul in celelalt si, exista tehnici de aproximare ale valorilor proprii pentru astfel de matrici, raminind problema densitatii familiei de subspatii de element finit. A doua observatie priveste setul de elemente eligibile in raport cu o familie densa de subspatii. In cazul nostru, din cauza subspatiilor construite prin functii scara (step functions), este putin probabil ca un operator liniar continuu sa aiba un zero in aceste subspatii. Cu alte cuvinte, ne asteptam ca operatorii continui sau operatorii Hermitieni asociati lor, sa fie strict pozitivi definiti pe subspatiile de aproximare utilizate.

***

In loc de Curriculum.

M-am nascut la Cenad, Timis, Romania in Iunie 27, 1948. Familia s-a mutat din Banat la Bacau unde mi-am petrecut copilaria, am urmat scoala elementara si liceul. Am urmat Facultatea de Matematica al Univ. ‘Al. I. Cuza’ din Iasi pina in 1972, iar in anul 1973 am absolvit masteratul la aceiasi facultate. La repartitia posturilor, am optat pentru o pozitie de programator-matematician la institutul de cercetari stiintifice si tehnice INCREST Bucuresti in locul optiunii unei pozitii de cercetator stagiar la filiala IMAR din Iasi.

Sectia de Matematica – IMAR. Doi ani mai tirziu, toate institutele de cercetare matematica ale Academiei Romane (IMAR) au fost desfiintate si, un mic grup de cercetatori a fost alipit institutului unde lucram. Dupa cutremurul din 1977, acest grup a avut initiativa infiintarii unui departament care sa studieze si sa gaseasca solutii practice ale unor probleme stringente ale tehnologiei autohtone, spre exemplu a dezvolta si propune metode de predictie ale potentialelor seisme. Astfel, a fost posibila cooptarea celorlalti cercetatori ai institutului de matematica, reinfiintarea IMAR si, de-a lungul anilor sa angajeze din rindul proaspetilor absolventi ai Facultatii de Matematica – pina in 1990 numarul cercetatorilor s-a inzecit. S-au reluat contactele cu specialistii din strainatate si vizite bilaterale de cercetare in ramurile matematicii fundamentale, au avut loc congrese internationale sub egida IMAR, a aparut revista romano-americana Operator Theory publicata in Sectie.

In Ianuarie 1978, la infiintarea Sectiei de Matematica, am fost cooptat printre primii noi veniti, urmind sa fac parte din grupul de matematici aplicate, eu lucrind deja pe un contract de predictie al apelor freatice cu Inst. de Geografie al Academiei. Acest contract a fost preluat si dezvoltat pe baza unui model determinist de cel ce avea sa fie conducatorul meu de doctorat pentru citiva ani. Sub noua forma a permis cooptarea si altor cercetatori din Sectie, facind vizibila implicarea teoreticienilor pe contracte aplicative – cel putin pe hirtie. In fapt, aportul si implicarea cercetatorilor de la Academia Romana pe tematici aplicative de care ‘tzara avea nevoie’, au fost argumentele cheie ale desfiintarii IMAR in 1975 ca si al aprobarii infiintarii Sectiei de Matematica in 1978.

Activitate Stiintifica. Din anul 1982, m-am orientat spre studiul metodelor iterative de tip multigrid, obtinind primele rezultate experimentale si teoretice. Dat fiind interesul din partea unor cercetatori din Politehnica Bucuresti, dar si al unor cercetatori din provincie, am decis sa tin un seminar stiintific sub egida Sectiei si al IMAR, care s-a desfasurat anual pina in vara anului 1990. Metodele multigrid introduse ca tematica de studiu au fost incluse pe lista domeniilor de cercetare ale IMAR din 1984 pina in toamna anului 1990, domeniu de cercetare ce eu l-am introdus in IMAR si al carui singur reprezentant am fost pina la plecarea mea fortata din tara in urma evenimentelor din Piata Universitatii din primavara anului 1990. In Ianuarie 24, 2022, metodele Multigrid figurau inca pe pagina web al Inst. de Matematica al Academiei Romane si ar fi interesant de stiut cind au fost reintroduse si, de ce au fost sterse dupa acea data ce coincide cu data in care, dupa 32 de ani, am incercat sa contactez IMAR.

In iarna 1987/1988 am luat decizia de a ma transfera cu doctoratul la Univ. din Cluj. Titlul de doctor in matematica l-am obtinut un an si jumatate mai tirziu avind-ul drept conducator stiintific pe Profesorul Dimitrie D. Stancu, o somitate in analiza numerica, unul din cei mai apreciati specialisti romani contemporani.

Rezultatele mele stiintifice au aparut atit ca preprinturi ale IMAR cit si in articole publicate in reviste de prestigiu. Dintre rezultate as mentiona: cele legate de independenta de parametrul de discretizare (mesh independence) al metodelor iterative pe scheme de discretizare multigrid; metode de preconditionare pe scheme Galerkin; unele rezultate aplicative. De exemplu, am dat un raspuns teoretic instabilitatii numerice a problemelor de transfer termic (heat transfer), identificind problema in relatia dintre pasul de discretizare si numarul Peclet – problema a fost ridicata prin anii ’80 de catre scoala lui Zienkiewich. As mai aminti in aceeasi clasa de rezultate aplicative si metoda de obtinere a celor mai bune constante ale echivalentei normelor pe spatii Sobolev (preprint IMAR).

Lucrarea privind independenta de parametrul de discretizare al metodelor iterative pe schemele Galerkin folosind metode de preconditionare, a fost inclusa in monografia dedicata celor mai reprezentative rezultate in domeniu, monografie publicata in Johns Hopkins Libraries: ‘Preconditioned Iterative Methods – JH Libraries’, Lausanne, Switzerland; [Langhome, Pa.] : Gordon and Breach, 1994.

Dupa plecarea mea din tara, am avut colaborari stiintifice cu Inst. de Matematica al Univ. din Napoli, Univ. din Potenta si, pina la plecarea din Italia, emigrind in Canada, am avut un contract de lector (“cultore della materia”) pe o durata de 5 ani cu Univ. Catholica din Milano.

*

P.S. 1. Au fost inregistrate peste 1,000  de vizualizari (peste o mie in primul an) si 30 de downloads ale Preprintului de pe Research Square pina la data de 27.06.2023, fara a adauga vizualizarile de pe JPAM (vreo suta, daca nu gresesc).

P.S. 2. Despre JPAM: Este extraordinara deschiderea revistei pentru lucrari care ataca subiecte ‘tabu’ din perspective diferite de cele asteptate. In afara solutiei mele pentru Conjectura lui Riemann din luna Iulie 2022, in luna Mai 2021 a fost publicata solutia unei alte probleme celebre din lista ‘Millennium Problems’ a Clay Math. Ins., si anume, Conjectura lui Collatz (doi: 10.37532/2752-8081.21.5.27).

27.06.2023 Windsor On, Canada & Brasov, Romania